先理解：什么是补码？ 对于一个整数：

正数的补码就是它本身的二进制。

负数的补码 = 原码取反 + 1。

例如用 8 位二进制表示：

+5 = 00000101

-5 的补码 = 11111011

 

历史背景

• 1945年：著名数学家冯·诺依曼在《EDVAC报告草案》中首次提出补码概念，但未命名。

• 1947年：计算机先驱 Howard Aiken 在哈佛 Mark II 计算机的文档中首次使用 "Complement of Two" 术语。

• 1951年：IBM 701 计算机（首台商用科学计算机）正式采用补码，推广了 "Two's Complement" 名称。

命名逻辑：
早期计算机文献需区分 "对1取补"（反码） 和 "对2^N取补"（补码），
因此明确称其为 "Two's Complement"（基于基数2^N）而非反码的 "One's Complement"（基于2^N-1）。

 

计算机内部使用补码（Two's Complement）来表示有符号的二进制整数，原因并不是“随便选的”，而是因为它具有多个数学与工程上的优势，使得加减法电路可以统一且高效。

“Two's Complement”这个名字的来由，其实和它的数学定义是完全对应的。它直译过来就是：

“二的补数”，即：补到最近的 2 的整数倍（如 2⁸、2¹⁶）所需要加上的量。

 

 

、数学本质：模运算系统

补码的本质是模 2ⁿ 的数学系统（n为位数）：

例如4位系统：模 = 2⁴ = 16
-3 ≡ 13 (mod 16) → 13的二进制：1101（即-3的补码）

• 减法等价：A - B ≡ A + (16 - B) mod 16

• 溢出即取模：结果超过16时自动截断

核心思想：负数被映射到大于一半模的正数区间，实现运算统一

 

 

特性/表示法	原码	反码	补码（实际使用）
零的表示	两种	两种	只有一种
加法逻辑	需分情况	需考虑进位	可直接加法处理
负数表示	最高位为1，其余同正数	逐位取反	取反 + 1
硬件实现复杂度	高	中	最低

PS:反码英文名：One's Complement

 

总结：为什么用补码？ 补码使得硬件设计更简单，加减法统一，逻辑判断更高效，且没有冗余的零。

这是从“电路效率 + 数学一致性”两个角度得出的最优方案。 正因如此，现代几乎所有计算机体系结构（x86, ARM 等）都采用 补码 作为整数的内部表示方式。

补码的三大革命性贡献

1. 硬件层面

   • 单一加法器完成所有整数组算

   • 消除符号位特殊处理电路

2. 数学层面

   • 建立基于模运算的封闭代数系统

   • 实现数值表示的无缝连续

3. 工程层面

   • 100%位模式利用率

   • 零值唯一性保障

   • 跨平台运算一致性

正因这些突破性优势，自1950年代IBM 704计算机首次采用后，补码成为现代计算机整数表示的事实标准。

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